2013年河南省公務(wù)員考試行測技巧:余數(shù)問題六道破
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在公務(wù)員考試的數(shù)量關(guān)系模塊中，考生經(jīng)常會遇到余數(shù)相關(guān)的問題，很多考生對此類題目感覺無從下手，老師針對最常見的幾類題目給予分析，讓余數(shù)問題不再是困擾您的難題。
一、余數(shù)關(guān)系式和恒等式的應(yīng)用
余數(shù)的關(guān)系式和恒等式比較簡單，但余數(shù)的范圍(0≤余數(shù)<除數(shù))需要引起大家足夠的重視，因為這是某些題目的突破口。
余數(shù)基本關(guān)系式：被除數(shù);除數(shù)=商…余數(shù)(0≤余數(shù)<除數(shù))
余數(shù)基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)
【例1】兩個整數(shù)相除，商是5，余數(shù)是11，被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)的和是99，求被除數(shù)是多少?( )
A.12 B.41 C.67 D.71
【解析】余數(shù)是11，因此，根據(jù)余數(shù)的范圍(0≤余數(shù)<除數(shù))，我們能夠確定除數(shù)>11。除數(shù)為整數(shù)，所以除數(shù)≥12，根據(jù)余數(shù)的基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)≥12×商+余數(shù)=12×5+11=71，因此被除數(shù)最小為71，選D。
【例2】有四個自然數(shù)A、B、C、D，它們的和不超過400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，這四個自然數(shù)的和是?
A. 216 B. 108 C. 314 D. 348
【解析】利用余數(shù)基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然數(shù)，于是A可以被5整除，同理，A還可以被 6、7整除，因此，A可以表示為5、6、7的公倍數(shù)，即210n。由于A、B、C、D的和不超過400，所以A只能等于210，從而可以求出B=41、 C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，選C。
二、同余問題
這類問題在考試中比較常見，主要是從除數(shù)與余數(shù)的關(guān)系入手，來求得最終答案。
【例3】一個數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1，請問這個數(shù)如何表示?
【解析】設(shè)這個數(shù)為A，則A除以4余1，除以5余1，除以6余1，那么A-1就可以被4、5、6整除。4、5、6的最小公倍數(shù)為60，所以A-1就可以表示為60n，因此，A=60n+1。
結(jié)論：如果一個被除數(shù)的除數(shù)不同，余數(shù)相同，那么這個數(shù)的通項公式可以表示為幾個除數(shù)的公倍數(shù)加上除數(shù)共同的余數(shù)。
【例4】一個數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1，請問這個數(shù)如何表示?
【解析】設(shè)這個數(shù)為A，如果A除以4余3，除以5余2，除以6余1，那么會有A=4n1+3，A=5n2+2，A=6n3+1。其中，A=4n1+3=4(n1-1)+4+3=4(n1-1)+7，同理，A=5(n2-1)+7，A= 6(n3-1)+7，根據(jù)【例3】的結(jié)論，A= 60n+7。
結(jié)論：如果一個被除數(shù)的除數(shù)不同，除數(shù)與余數(shù)的和相等，那么這個數(shù)的通項公式可以表示為幾個除數(shù)的公倍數(shù)加上除數(shù)與余數(shù)的和。
【例5】一個數(shù)除以4余1，除以5余2，除以6余3，請問這個數(shù)如何表示?
【解析】設(shè)這個數(shù)為A，如果A除以4余1，除以5余2，除以6余3，那么會有A=4n1+1，A=5n2+2，A=6n3+3。其中，A=4n1+1=4(n1+1)-4+3=4(n1+1)-1，同理，A=5(n2+1)-1，A= 6(n3+1)-1，根據(jù)【例3】的結(jié)論，A= 60n-1。
結(jié)論：如果一個被除數(shù)的除數(shù)不同，除數(shù)與余數(shù)的差相等，那么這個數(shù)的通項公式可以表示為幾個除數(shù)的公倍數(shù)減去除數(shù)與余數(shù)的差。
根據(jù)以上三道例題的結(jié)論，我們還可以舉一反三地解決其他相關(guān)問題。如：
【例6】自然數(shù)P滿足下列條件：P除以10的余數(shù)為9，P除以9的余數(shù)為8，P除以8的余數(shù)為7。如果：100
A.不存在 B.1個 C.2個 D.3個
【解析】幾個除數(shù)與對應(yīng)余數(shù)的差相同，均為1，根據(jù)【例5】的結(jié)論，P=360n-1，由于100
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