數(shù)量關(guān)系考點：容斥問題

容斥問題常規(guī)的考點有二者容斥和三者容斥問題，利用一些公式以及文氏圖能夠輕松地解決。

例題

1.某一學校有500人，其中選修數(shù)學的有359人，選修文學的有408人，那么兩種課程都選的學生至少有多少人?

A.165

B.203

C.267

D.199

2.閱覽室有100本雜志。小趙借閱過其中75本，小王借閱過70本，小劉借閱過60本，則三人共同借閱過的雜志最少有(   )本。

A.5

B.10

C.15

D.30

3.有135人參加某單位的招聘，31人有英語證書和普通話證書，37人有英語證書和計算機證書，16人有普通話證書和計算機證書，其中一部分人有三種證書，而一部分人則只有一種證書。該單位要求必須至少有兩種上述證書的應聘者才有資格參加面試。問至少有多少人不能參加面試?

A.50

B.51

C.52

D.53

溫馨提示：答案及解析見下頁

參考答案及解析

1.【答案】C

解析：讀完題目我們就能判斷出考察容斥問題中的二者容斥問題，但是有涉及到求極值問題。解極值問題我們可以通過逆向思維來求解，題目要求兩種課程都選的至少，即求沒選課程的人數(shù)最多。

通過這個表格我們可以得出要想不選課程的人數(shù)最多，即未選數(shù)學的141人和未選文學的92人不重復，因此不選課程的人數(shù)最多為141+92，因此題目所求的兩種都選的最少=500-(141+92)=267人，故選C。

2.【答案】A

解析：讀完題目我們也可以判斷出事考察三者容斥中的極值問題，那么我們也可以利用逆向思維來求解，所以我們也能知道未借閱的雜志最多=25+30+40，那么題目所求=100-(25+30+40)=5，因此選A。

通過這2道例題的講解我們了解到容斥問題的極值問題其實也可以很簡單，求N部分都包含的至少=(A+B+C+D+...+N)-(N-1)×I，后期我們碰到這樣的問題直接帶入公式求解就可以啦。

3.【答案】D

解析：讀完題目我們也可以確定是在考察三者容斥問題的極值問題，但是并不和之前的兩道題一樣，所以不能直接帶入到剛才總結(jié)的那個公式，此時，我們就需要結(jié)合三者容斥的基本公式和文氏圖來進行求解。

由圖可知a1、a2、a3表示的是只有英語證書，只有普通話證書和只有計算機證書，現(xiàn)在用a表示這三部分之后，即a=a1+a2+a3，x表示三種證書都有的人，因此全部人數(shù)135=a+31+37+16-2x，所以得出所求量a=51+2x，要求a的最小，即x要取最小，結(jié)合題目要求x最小為1，因此a=51+2=53，因此選D選項。

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